Les vecteurs

1. NOTION DE VECTEUR

DÉFINITION

Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.

REMARQUE

Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.

EXEMPLE

REMARQUE

Pour nommer un vecteur on peut :

•  utiliser l'origine et l'extrémité d'un représentant du vecteur : on parlera du vecteur $\overrightarrow{AB}$
•  lui donner un nom à l'aide d'une lettre (en générale minuscule) : on parlera alors du vecteur $\vec{u}$

DÉFINITION

$\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, ... représentent un même vecteur de longueur nulle appelé vecteur nul et noté $\overrightarrow{0}$.

REMARQUE

Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs.

DÉFINITION

On appelle norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ et on note $||\overrightarrow{AB}||$ la longueur du segment $\left[AB\right]$ .

REMARQUE

On a donc $||\overrightarrow{AB}||=AB$.

PROPRIÉTÉ

$M$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$.

REMARQUE

On rappelle que l'égalité de distance $AM=MB$ est insuffisante pour montrer que $M$ est le milieu de $\left[AB\right]$ (cette égalité montre seulement que M est équidistant de $A$ et $B$ c'est à dire est sur la médiatrice de $\left[AB\right]$). L'égalité de vecteurs $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, par contre, suffit à montrer que $M$ est le milieu de $\left[AB\right]$.

PROPRIÉTÉ

Le quadrilatère $\left(ABCD\right)$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

2. SOMME DE VECTEURS

On définit l'addition de deux vecteurs à l'aide de la relation de Chasles:

PROPRIÉTÉ

Pour tous points $A$, $B$ et $C$ du plan : $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (Relation de Chasles)

Relation de Chasles

Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que l'extrémité du premier vecteur coïncide avec l'origine du second. Pour additionner deux vecteurs qui ne sont pas dans cette configuration, on "reporte l'un des vecteurs à la suite de l'autre".

EXEMPLE

Pour tracer la somme des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$⃗ on reporte le vecteur $\overrightarrow{CD}$ à la suite du vecteur $\overrightarrow{AB}$; cela donne le vecteur $\overrightarrow{BE}$⃗ qui est égal au vecteur $\overrightarrow{CD}.$
On applique alors la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$ . La somme cherchée peut donc être représentée par le vecteur $\overrightarrow{AE}.$

CAS PARTICULIER

Si les vecteurs à additionner, ont la même origine, la méthode précédente aboutit à la construction d'un parallélogramme $\left(ABDC\right)$ :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$⃗+ BD⃗ = AD⃗​​​      ​​​

PROPRIÉTÉ ET DÉFINITION

Pour tout point $A$ et $B$ du plan : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

On dit que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont opposés et l'on écrit $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

REMARQUE

Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

CONSÉQUENCE

On peut donc définir la différence de 2 vecteurs par :

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

3. PRODUIT D'UN VECTEUR PAR UN NOMBRE RÉEL

DÉFINITION

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan et soit $k$ un nombre réel.

On définit le vecteur $k\vec{u}$ de la manière suivante :

Si $k$ est strictement positif :

•  Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction
•  Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont le même sens
•  La norme de $k\vec{u}$ est $k ||\vec{u}||$

Si $k$ est strictement négatif :

•  Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont la même direction
•  Les vecteurs $\vec{u}$ et $k\vec{u}$ ont des sens opposés
•  La norme de $k\vec{u}$ est $-k ||\vec{u}||$

Si $k$ est nul : $k\vec{u} = 0\vec{u}$ est le vecteur nul

EXEMPLE

Vecteurs colinéaires

DÉFINITION

On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ ou un réel $k^{\prime}$ tel que $\vec{v} = k^{\prime}\vec{u}$

REMARQUES

•  Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction (mais ils peuvent avoir des sens opposés)
•  Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. En effet $\overrightarrow{0} = 0\vec{u}$

PROPRIÉTÉS

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan et tous réels $k$ et $k^{\prime}$ :

•  $k \left(\vec{u}+\vec{v}\right) = k\vec{u}+k\vec{v}$
•  $\left(k+k^{\prime}\right) \vec{u} = k\vec{u}+k^{\prime}\vec{u}$
•  $k \left(k^{\prime}\vec{u}\right) = \left(kk^{\prime}\right) \vec{u}$

EXEMPLE

$2 \left(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 2 \left(3\overrightarrow{AC}\right) = 2\overrightarrow{AB} + 6\overrightarrow{AC}$